Nº.61 UNIVERSO Dez 2016 | Jan 2017

Bruna Garabito / Shutterstock
Patricia Camara Martins
6/4/16

Existe um número na natureza que, desde a Antiguidade, desperta a curiosidade e o fascínio de matemáticos e estudiosos: o número phi (Φ = 1,618034…). Também chamado número de ouro, ele está por traz de importantes obras da arquitetura clássica, em pinturas e esculturas renascentistas e na natureza, incluindo no corpo humano. Um número mágico, que organiza o universo em uma mesma proporção, a divina proporção.

Ao que tudo indica, a divisão áurea é conhecida desde os pitagóricos de 500 anos a.C. (a Escola Pitagórica foi uma influente corrente da filosofia grega por onde passaram os mais influentes filósofos pré-socráticos). Esses filósofos conheciam somente cinco sólidos regulares que poderiam ser circunscritos por uma circunferência: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro e o dodecaedro. Foi este último que ganhou atenção especial dos pitagóricos, pois suas faces são formadas por pentágonos regulares, repletos de segmentos áureos.

Seja o pentágono regular da figura 1, a interseção de duas de suas diagonais divide qualquer delas em média e extrema razão. Ou seja:

 
 
 
Figura 1: pentágono regular

Por meio do estudo do pentágono os pitagóricos conheceram o pentagrama, ou triângulo triplo (figura 2) que eles acreditavam ser o símbolo da boa saúde, o emblema da perfeição. Por isso eles escolheram essa figura como símbolo da Sociedade de Pitágoras.

 
Figura 2: pentagrama

 

Divisão áurea de um segmento

A divisão de um segmento em média e extrema razão é dada como se segue: seja um segmento de reta AB, dividido em dois segmentos pelo ponto C (figura 3).



Figura 3: segmento AB dividido em proporção áurea.


 


Podemos, então, escrever que:


 


 


Chamamos a razão x de razão áurea.


Assim, o segmento AB está dividido em média e extrema razão, como era dito pelos matemáticos de antigamente. Kepler (1571-1630) chamou esta divisão de divina proporção.


O problema da divisão de um segmento em razão áurea está solucionado no livro Elements, escrito por volta de 300 anos a.C., pelo matemático Euclides, conhecido como o pai da geometria.


Mais tarde, Eudoxus de Cnidus (410 ou 408 a.C. – 355 ou 347 a. C.), outro matemático grego, estudando a teoria das proporções, estabeleceu as propriedades do retângulo áureo ou retângulo de ouro. Esta figura é um retângulo ABCD qualquer (figura 4) com a seguinte característica: se dele criarmos um quadrado, como ABFE, o retângulo restante, CDEF, será semelhante ao retângulo original ABCD. Sendo a + b e a os comprimentos dos lados do retângulo, cumpre-se a relação


 


Figura 4: retângulo áureo

 

 

O retângulo de ouro pode ser dividido em um quadrado e em outro retângulo de ouro em um processo que pode se repetir infinitas vezes, mantendo-se a mesma proporção. Para os gregos, o retângulo áureo representava a lei da beleza matemática. Ele aparece em diversas obras da arquitetura e escultura grega clássicas. O Parthenon, construído em Atenas por volta de 430-440 a. C., tem em sua base um retângulo de ouro. No início do século passado a letra grega phi, do nome de Fídias, construtor e arquiteto do Parthenon, foi designada para representar o número áureo.

 



Figura 5: Parthenon, em Atenas / Reprodução.

 


Muitos arquitetos que viveram depois de Fídias usaram o retângulo de ouro como base de seus projetos arquitetônicos. Um exemplo é a Catedral de Notre Dame, em Paris, uma das mais antigas catedrais francesas em estilo gótico.


  

Figura 6: Catedral de Notre Dame em Paris / Reprodução.

 


 


O retângulo de ouro também contém um espiral que repete as mesmas proporções da regra de ouro infinitamente. 


Encontramos este espiral em diversos seres vivos, desde microrganismos, flores, moluscos e no formato de chifres de animais, até mesmo na configuração das galáxias. O tamanho dos espirais de um caracol e o diâmetro dos espirais das sementes do girassol aumentam com uma proporção de aproximadamente 1,618.


 

Figura 7: campo de girassóis / Shutterstock Fotos

 

Por volta de 1500, Leonardo da Vinci (1452-1519) também usou o que depois passaria a ser chamado de divina proporção em suas obras de arte. Em seus estudos de anatomia, ele descobriu que o corpo humano obedece apenas a uma proporção: a proporção áurea. Da Vinci constatou que nada na natureza obedece tanto a divina proporção quanto o corpo humano, um dado confirmado por pesquisas recentes. Algumas de suas descobertas foram por exemplo:



  • O resultado da altura do ser humano dividida pelo comprimento de seu umbigo até o chão.

  • O comprimento do braço e dividido pelo comprimento do cotovelo até o dedo.

  • A medida do seu dedo inteiro dividida pela medida da dobra central até a ponta, ou da dobra central até a ponta dividido pela medida da segunda dobra até a ponta.

  • O comprimento da perna inteira dividido pelo comprimento do joelho até o chão.

  • A altura do crânio dividida pelo tamanho da mandíbula.

Luca Pacioli (1445-1517), matemático italiano, considerado o pai da contabilidade moderna, nutria tal admiração pelo número de ouro que, por volta de 1509, escreveu um livro sobre as proporções divinas da natureza, chamado Divina Proportione, contendo ilustrações de Leonardo da Vinci. Uma delas era o Homem Vitruviano, que representa a perfeição e a beleza humana.

 
Figura 8:  O Homem Vitruviano / Reprodução

 

Fibonacci e a mais famosa série matemática

No início do século XIII, o matemático Leonardo Fibonacci estudava o problema do crescimento populacional dos coelhos. Ao longo dos experimentos, ele se deparou com uma sequência onde um número é igual a soma dos dois anteriores. A série, uma das mais famosas da matemática, ficou conhecida como série ou sequência de Fibonacci. Ao dividir cada termo pelo anterior, o resultado sempre fica próximo do número phi. Quanto maior o termo, mais próximo do número de ouro a divisão estará.






O problema dos pares de coelhosum homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir deste par em um ano, considerando que, a cada mês nasce um par de coelhos e que eles, ao completarem dois meses de vida, também vão produzir novos coelhos? Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos jovens, assim no início do mês 1 existirão 2 pares: 1 par adulto + 1 par recém-nascido. Tal processo continua através dos meses até completar um ano. Observa-se esta formação na sequência numérica, conhecida como a sequência de Fibonacci, que indica o número de pares ao final de cada mês: {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …}. A razão entre os termos desta sequência convergirá para o número de ouro. Fonte: Belussi, G.M.; Geraldini, D.A.; Prado, E.A.; Barison, M.B.“Número de ouro”, Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Londrina, s/data.

 

Encontramos a sequência de Fibonacci naturalmente ao nosso redor:

  • A população de coelhos cresce seguindo os números de Fibonacci.

  • A maioria das flores tem 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ou 89 pétalas.

  • Em grande parte das espécies vegetais a quantidade necessária de folhas a dar uma volta ao caule segue a sequência de Fibonacci.

O número de ouro segue fascinando pesquisadores e curiosos há mais de vinte séculos. Até hoje, esta é considerada a proporção mais perfeita. Há os que acreditam que o número de ouro é a representação da beleza perfeita que Deus teria usado para criar o mundo.

 

Referências